• Dr. Roland Griesse (Projektleiter, RICAM Linz)
• Prof. Dr. Arnd Rösch (Projektleiter, Universität Duisburg-Essen)
• MSc Nataliya Metla (Projektmitarbeiterin, RICAM Linz)

Viele technologische Prozesse werden durch partielle Differentialgleichungen beschrieben. Die Optimierung solcher Prozesse oder die Identifikation von Materialparametern führt auf Optimalsteuerprobleme bei partiellen Differentialgleichungen. Typischerweise müssen einige der für den Prozess relevanten Größen in gewissen Toleranzbereichen liegen. Dieses Projekt beschäftigt sich daher mit elliptischen und parabolischen Optimalsteuerproblemen mit punktweisen Ungleichungsnebenbedingungen in Ort und Zeit.

Reale Anwendungsprobleme sind durch das auftreten von nichtlinearen Funktionen gekennzeichnet. Notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingungen benötigen Ableitungen dieser Funktionen. Hinreichende Optimalitätsbedingungen sichern die Stabilität der Lösung des Optimalsteuerproblems gegenüber Störungen in den Daten. Außerdem bilden sie den Schlüssel für die Konvergenzanalysis schneller und effizienter numerischer Verfahren.

Bis jetzt waren Resultate zu hinreichenden Optimalitätsbedingungen, Stabilitätsresultate und die Konvergenz von schnellen numerischen Verfahren nur für Probleme bekannt, bei denen nur die Steuerung in den Ungleichungsnebenbedingungen auftritt. Im Gegensatz dazu enthalten praktische Anwendungsprobleme in den Ungleichungsnebenbedingungen sowohl die Steuerung als auch den Zustand (Prozessgrößen). Ungleichungsnebenbedingungen, die nur Prozessgrößen enthalten sind durch enorme theoretische und praktische Probleme gekennzeichnet, deren Lösung im Moment nicht absehbar ist.

In diesem Projekt werden wir hinreichende Optimalitätsbedingungen aufstellen, Stabilitätsresultate beweisen und die Konvergenz des SQP-Verfahrens für
gemischt beschränkte Optimalsteuerprobleme: Hier enthalten die Ungleichungsnebenbedingungen sowohl die Steuerung als auch die Prozessgrößen. Die in diesem Projekt entwickelte Theorie garantiert verlässliche numerische Ergebnisse für beliebig feine Diskretisierungen der beteiligten partiellen Differentialgleichungen.

• Optimale Steuerung
• Konvergenztheorie
• partielle Differentialgleichungen
• hinreichende optimalitätsbedindungen
• SQP-Verfahren
• gemischte Beschränkungen

AMS-Klassifikation: 49K20, 49K40, 49M05, 49M37

Das Projekt lief von 2005-2008.

• Prof. Dr. Arnd Rösch (Projektleiter, Universität Duisburg-Essen)
• MSc Svetlana Cherednichenko (Projektmitarbeiterin, Universität Duisburg-Essen)
• Dipl.-Math. Klaus Krumbiegel (Projektmitarbeiter, Universität Duisburg-Essen)

Viele technologische Probleme werden durch Systeme partieller Differentialgleichungen beschrieben. die Optimierung solcher Prozesse oder die Identifikation von Prozessparametern führt auf Optimalsteuerprobleme bei partiellen Differentialgleichungen. Häufig werden solche Prozesse durch zusätzliche Ungleichungsbeschränkungen charakterisiert, d.h. einige Größen müssen in gewissen Toleranzbereichen liegen. Dieses Projekt beschäftigt sich mit linear-quadratischen Problemen: Die Zielfunktion ist quadratisch während in allen Gleichungen und Ungleichungen alle Größen nur linear eingehen.Dabei werden in diesem Projekt vorwiegend elliptische und parabolische Probleme behandelt. Obwohl die Klasse der zu untersuchenden Probleme eine relativ einfache Struktur aufweist, ist es unmöglich solche Probleme exakt zu lösen. Daher ist es notwendig das Problem in geeigneter Weise zu diskretisieren. Die Approximationseigenschaften der diskretisierten Probleme stehen im Fokus von diesem Forschungsprojekt.

In den letzten Jahren gab es gewaltige Fortschritte in der Theorie von steuerbeschränkten Optimalsteuerproblemen. In Gegensatz dazu sind die Approximationseigenschaften zustandsbeschränkter Probleme noch weitgehend unerforscht. Das Projekt versucht die Lücke zwischen den sehr gut erforschten Bereich der steuerbschränkten Probleme und dem weitgehend unbekannten Terrain der zustandbeschränkten Probleme signifikant zu verringern.

Darüber hinaus sollen die erzielten Resultate zur Konstruktion von Abbruchkriterien für numerische Verfahren genutzt werde. Abbruchskriterien, die direkt auf Fehlerabschätzungen basieren, können die Rechenzeit für die numerische Lösung solcher Aufgaben drastisch reduzieren
ohne auf zuverlässige Ergebnisse verzichten zu müssen. Damit ist es in Zukunft möglich größere und kompliziertere Probleme numerisch zu lösen.

Superconvergenzeffekte treten bei der numerischen Lösung von Optimalsteuerproblemen auf. Ein besseres Verständnis dieser Effekte kann dazu beitragen, solche Effekte gezielt in numerischen Algorithmen auszunutzen. Solche Algorithmen liefern dann wesentlich bessere numerische Ergebnisse bei vergleichbarer Diskretisierung.

• Optimale Steuerung
• Fehlerabschätzungen
• Superkonvergenz
• Approximation
• partielle Differentialgleichungen

AMS-Klassifikation: 49K20, 49M25, 49N10, 49N60

Das Projekt lief von 2005-2008.

• Prof. Dr. Thomas Apel (Projektleiter, Universität der Bundeswehr München)
• Prof. Dr. Arnd Rösch (Projektleiter, Universität Duisburg-Essen)
• Prof. Dr. Boris Vexler (Projektleiter, TU München)
• Dipl.-Math. Olaf Benedix (Projektmitarbeiter, TU München)
• Dipl.-Math. Thomas Flaig (Projektmitarbeiter, Universität der Bundeswehr München)
• Dipl.-Math. Martin Naß (Projektmitarbeiter, Universität Duisburg-Essen)
• Dipl.-Math. Johannes Pfefferer (Projektmitarbeiter, Universität der Bundeswehr München)
• Dipl.-Math. Dieter Sirch (Projektmitarbeiter, Universität der Bundeswehr München)

Das Forschungsprojekt war in der ersten Phase (2006-2009) ein gemeinsames Projekt von FWF und DFG. Die zweite Phase (2009-2012) wird von der DFG gefördert und ist Teil des DFG-Schwerpunktprogramms 1253 "Optimierung mit partiellen Differentialgleichungen".

Die Optimierung technologischer Prozesse hatt eine zunehmend Bedeutung in Wissenschaft und praktischen Anwendungen. Das Projekt behandelt unterschiedliche typen von Optimalsteuerproblemen bei elliptischen und parabolischen partiellen Differentialgleichungen welche zusätzlich durch Ungleichungsnebenbedingungen an die Steuerung und dem Zustand des Systems charakterisiert werden. Von besonderem Interesse sind dabei alle Arten von auftretenden Singularitäten. Diese können ihre Ursache in einspringenden Ecken oder Kanten, nichtglatten Koeffizienten, kleinen Parametern und Ungleichungsnebenbedingungen haben.

Das Projekt verfolgt zwei Ziele: Zum einen sollen ausgehend von a priori Fehlerabschätzungen optimal angepasste Diskretisierungen entwickelt werden. Zum anderen sollen zuverlässige a posteriori Fehlerschätzer entwickelt werden, die eine adaptive Netzverfeinerung erlauben. Eine Herausforderung sind dabei Ungleichungsnebenbedingungen an Steuerung und Zustand. Beide Techniken können effiziente und zuverlässige numerische Lösungen erzeugen. Mit einer erfolgreichen Strategie ist es möglich numerische Lösungen von Optimalsteuerproblemen bei gegebener Genauigkeit mit geringem Aufwand zu berechnen.

Das Projekt konzentrierte sich dabei in der ersten Antragsphase (2006-2009) auf lineare partielle Differentialgleichungen. Die Untersuchung nichtlinearer partieller Differentialgleichungen ist für die zweite Antragsphase (2009-2012) vorgesehen.

• Optimale Steuerung
• Singularitäten
• Ungleichungsnebenbedingungen
• Finite Elemente Diskretisierung
• a priori Fehleranalysis
• a posteriori Fehlerschätzer
• Netzverfeinerung

AMS-Klassifikation: 49K20, 49M25, 49N10, 49N60

• Prof. Dr. Arnd Rösch (Projektleiter, Universität Duisburg-Essen)
• Prof. Dr. Kunibert Siebert (Projektleiter, Universität Stuttgart)
• Dipl.-Math. Simeon Steinig (Projektmitarbeiter, Universität Stuttgart)

Das Ziel dieses Projektes ist das Design und die mathematische Analysis von adaptiven-finite-Element-Methoden zur effizienten Lösung von Optimalsteuerproblemen bei partiellen Differentialgleichungen. Dabei werden die Stärken der Arbeitsgruppe Siebert in Bezug auf Design, Analysis und Anwendungen von adaptiven-finite-Element-Algorithmen mit der Kompetenz der Arbeitsgruppe Rösch bezüglich Design und Analysis von Methoden für Optimalsteuerprobleme verbunden.

Der Fokus liegt dabei auf der a-posteriori-Fehlerschätzung und der Konvergenzanalysis von adaptiven-finite-Elemente-Verfahren für steuer- und zustandsbeschränkte Optimalsteuerprobleme.bei elliptischen Differentialgleichungen. Das Projekt beschäftigt sich mit Grundlagenforschung und erfordert innovative Techniken aus der Analysis. Es wird den Einblick in die grundlegende Wirkungsweise adaptiver Algorithmen verbessern. Natürlich profitieren auch konkrete Umsetzungen von den Erkenntnissen aus dem Projekt.

• Optimale Steuerung
• Adaptive Finite Elemente Methoden (AFEM)
• a posteriori Fehlerschätzer
• Konvergenz adaptiver Verfahren
• Steuerbeschränkungen
• Zustandsbeschränkungen

AMS Klassifikation: 49K20, 49M25, 49N10