Aufbaumodul (Schwerpunkte Analysis, Numerische Mathematik, Optimierung)

Veranstaltung im LSF

Termine

Inhalt

Die Funktionalanalysis wurde Anfang des 20. Jahrhunderts entwickelt, um Funktionen als Elemente eines (unendlichdimensionalen) Vektorraums behandeln zu können. Ähnlich wie die Lineare Algebra einen abstrakten Rahmen bildet um die Lösbarkeit (endlichdimensionaler) linearer Gleichungssysteme zu untersuchen, erlaubt die Funktionalanalysis die Untersuchung von linearen Gleichungen in Funktionenräumen, insbesondere von Differentialgleichungen. Sie bildet eine wesentliche Grundlage für die gesamte moderne angewandte Mathematik (z.B. Theorie, Numerik und Optimierung von partiellen Differentialgleichungen; inverse Probleme und Bildverarbeitung) und ist eine Voraussetzung für zahlreiche Vertiefungsmodule in diesem Bereich.

Gliederung/Planung

1. Metrische Räume
2. Kompakte Mengen
3. Normierte Räume
4. Lineare Operatoren
5. Das Prinzip der gleichmässigen Beschränktheit
6. Quotientenräume
7. Lineare Funktionale
8. Der Satz von Hahn-Banach
9. Adjungierte Operatoren
10. Reflexivität
11. Schwache Konvergenz
12. Kompakte Operatoren
13. Die Fredholm-Alternative
14. Das Spektrum
15. Hilberträume
16. Der Satz von Riesz
17. Spektralzerlegung kompakter Operatoren

Skript

Hier finden Sie im Laufe des Semesters das Skriptum zur Vorlesung (vollständig). Jeder Hinweis auf Fehler wird dankbar aufgenommen.

Literaturhinweise:

• A. Alt: Lineare Funktionalanalysis, Springer, 6. Auflage, 2012 (als ebook verfügbar).
• M. Dobrowolski: Angewandte Funktionalanalysis, Springer, 2010 (als ebook verfügbar).
• W. Kaballo: Grundkurs Funktionalanalysis, Spektrum Akademischer Verlag, 2011 (als ebook verfügbar).
• D. Werner: Funktionalanalysis, Springer, 7. Auflage, 2011 (als ebook verfügbar).

Aufgabenblätter

Hier finden Sie im Laufe des Semesters die Aufgabenblätter. Ihre schriftliche Lösung werfen Sie bitte bis zum angegebenen Datum (vor der Übung) in den entsprechenden Briefkasten.

• Aufgabenblatt 1 (Bearbeitung bis 22.4.2015)
• Aufgabenblatt 2 (Bearbeitung bis 29.4.2015)
• Aufgabenblatt 3 (Bearbeitung bis 06.5.2015), korrigierte Version (H 3.5)
• Aufgabenblatt 4 (Bearbeitung bis 13.5.2015)
• Aufgabenblatt 5 (Bearbeitung bis 20.5.2015)
• Aufgabenblatt 6 (Bearbeitung bis 27.5.2015)
• Aufgabenblatt 7 (Bearbeitung bis 10.6.2015)
• Aufgabenblatt 8 (Bearbeitung bis 17.6.2015)
• Aufgabenblatt 9 (Bearbeitung bis 24.6.2015)
• Aufgabenblatt 10 (Bearbeitung bis 1.7.2015)
• Aufgabenblatt 11 (Bearbeitung bis 8.7.2015)
• Aufgabenblatt 12 (Bearbeitung bis 15.7.2015)

Organisatorisches

Die Kriterien für eine erfolgreiche Teilnahme an der Veranstaltung werden in der ersten Vorlesungswoche bekanntgegeben.