Aufbaumodul (Schwerpunkt Optimierung; weitere Schwerpunkte: Analysis, Numerische Mathematik)

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Inhalt

Inverse Probleme treten überall dort auf, wo sich gesuchte Größen nicht durch direkte Messung ermitteln lassen, sondern nur durch Abgleich von Messungen und numerischer Simulation. Beispiele finden sich in der biomedizinischen Bildgebung, der zerstörungsfreien Prüfung von Werkstoffen und der Kalibrierung von Finanzmodellen. Die Schwierigkeit solcher Probleme beruht darauf, dass sie im mathematischen Sinne schlecht gestellt sind: Für fehlerbehaftete Daten muss keine Lösung existieren, und selbst kleine Fehler in den Daten können zu großen Abweichungen in den gesuchten Parametern führen.

Inhalt der Vorlesung sind mathematische Werkzeuge zur Untersuchung von schlecht gestellten Problemen sowie Verfahren für ihre Lösung. In den Übungen soll das Verständnis dieser Themen vertieft und die numerische Implementierung der Lösungsverfahren erlernt werden.

Gliederung/Planung

1. Funktionalanalytische Grundlagen
2. Schlecht gestellte Operatorgleichungen
3. Regularisierungsverfahren
4. Spektrale Regularisierung
5. Tikhonov-Regularisierung
6. Landweber-Regularisierung
7. Regularisierung durch Diskretisierung
8. Nichtlineare inverse Probleme
9. Nichtlineare Tikhonov-Regularisierung
10. Nichtlineare iterative Regularisierung

Skript

Hier finden Sie im Laufe des Semesters das Skriptum zur Vorlesung (vollständig). Jeder Hinweis auf Fehler wird dankbar aufgenommen.

Literaturhinweise:

• H. Engl, M. Hanke, A. Neubauer: Regularization of inverse problems, Kluwer 1996.
• M. Hanke: A Taste of Inverse Problems, SIAM, 2017.
• B. Hofmann: Mathematik inverser Probleme, Teubner 1990.
• A. Kirsch: An introduction to the mathematical theory of inverse problems, Springer 2011 (2. Auflage).
• A. K. Louis: Inverse und schlecht gestellte Probleme, Teubner 1989.
• A. Rieder: Keine Probleme mit Inversen Problemen, Vieweg 2003.

Aufgabenblätter

Hier finden Sie im Laufe des Semesters die Aufgabenblätter.

• Aufgabenblatt 1 (Bearbeitung bis 06.11.2017)
• Aufgabenblatt 2 (Bearbeitung bis 13.11.2017)
• Aufgabenblatt 3 (Bearbeitung bis 20.11.2017)
• Aufgabenblatt 4 (Bearbeitung bis 27.11.2017)
• Aufgabenblatt 5 (Bearbeitung bis 04.12.2017)
• Aufgabenblatt 6 (Bearbeitung bis 11.12.2017)
• Aufgabenblatt 7 (Bearbeitung bis 18.12.2017)
• Aufgabenblatt 8 (Bearbeitung bis 08.01.2018), Matlab-Dateien zu Aufgabe P 8.1
• Aufgabenblatt 9 (Bearbeitung bis 15.01.2018)
• Aufgabenblatt 10 (Bearbeitung bis 22.01.2018)
• Aufgabenblatt 11 (Besprechung am 29.01.2018)

Organisatorisches

Scheinkriterien

• Es wird eine mündliche Prüfung im Anschluss an die Vorlesung angeboten.