Vertiefungsmodul (Schwerpunkt Optimierung; weitere Schwerpunkte: Stochastik, Numerische Mathematik)

Veranstaltung im LSF

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Inhalt

Inverse Probleme treten überall dort auf, wo sich gesuchte Größen nicht durch direkte Messung ermitteln lassen, sondern nur durch Abgleich von Messungen und numerischer Simulation. Beispiele finden sich in der biomedizinischen Bildgebung, der zerstörungsfreien Prüfung von Werkstoffen und der Kalibrierung von Finanzmodellen. Die Schwierigkeit solcher Probleme beruht darauf, dass sie im mathematischen Sinne schlecht gestellt sind: Für fehlerbehaftete Daten muss keine Lösung existieren, und selbst kleine Fehler in den Daten können zu großen Abweichungen in den gesuchten Parametern führen.

Die klassische Regularisierungstheorie ist deterministisch und geht von einer konkreten (unbekannten) Realisierung des Fehlers aus. In der statistischen Theorie wird der Fehler dagegen als zufällig betrachtet. Spezifische Annahmen an dessen Verteilung erlauben dann weitergehende Aussagen an die Lösung des inversen Problems. Dabei unterscheidet man zwei Zugänge: Im frequentistischen Zugang geht man von einer festen (unbekannten, zu approximierenden) exakten Lösung aus. Der Bayessche Zugang sieht dagegen auch diese Lösung als zufällig (da unbekannt) an; Annahmen an dessen Verteilung entsprechen dabei dem Einbringen von a priori Informationen im Sinne der klassischen Regularisierung.

In dieser Vorlesung sollen die verschiedenen Zugänge vorgestellt und untereinander sowie mit der deterministischen Theorie verglichen werden. Außerdem werden numerische Verfahren speziell für die Lösung Bayesscher inverser Probleme betrachtet.

Gliederung/Planung

1. Einführung
2. Grundlagen deterministischer inverser Probleme
3. Stochastische Grundlagen
4. Frequentistische inverse Probleme
5. Bayessche inverse Probleme
6. Monte-Carlo-Verfahren

Literaturhinweise:

Organisatorisches

Scheinkriterien

• Es wird eine mündliche Prüfung im Anschluss an die Vorlesung angeboten.
• Im Anschluß an die Vorlesung kann eine Projektarbeit im Umfang von 3 ECTS angefertigt werden. .